【題目】如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面平面,,是的中點,,.
(1)求證:;
(2)若二面角的正弦值為,求四棱錐的體積.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】分析:(1)由幾何關(guān)系可證得直線,,兩兩垂直.以為坐標原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,設(shè).由空間向量的結(jié)論可證得,則.
(2)由(1)可得,.由空間向量計算可得.則四棱錐的體積.
詳解:(1)設(shè)的中點為,連接,由四邊形是矩形,得.
∵,是的中點,∴.
∵平面平面,平面平面,
∴平面. ∴. ∴直線,,兩兩垂直.
以為坐標原點,,,所在直線分別為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè).
依題意得,,,,,,.
∴,.∵,
∴,即.
(2)由(1)可得,.
設(shè)平面的法向量為,則,,
∴即
令,則是平面的一個法向量,同理可得是平面的一個法向量.設(shè)二面角的大小為,
則. ∴,解得.
∴四棱錐的體積.
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【題目】設(shè)函數(shù),已知曲線在點處的切線與直線平行
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)是否存在自然數(shù),使得方程在內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,請說明理由。
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)(表示中的較小者),求的最大值。
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【題目】復(fù)利是一種計算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再計算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢1000元,存入銀行,年利率為2.25%;若放入微信零錢通或
者支付寶的余額寶,年利率可達4.01%.如果將這1000元選擇合適方式存滿5年,可以多獲利息( )元.(參考數(shù)據(jù):)
A. 176 B. 100 C. 77 D. 88
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【題目】設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1 , x2 , …,x10的均值和方差分別為1和4,若yi=xi+a(a為非零常數(shù),i=1,2,…,10),則y1 , y2 , …,y10的均值和方差分別為( )
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線交于兩點,求.
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【題目】在一塊耕地上種植一種作物,每季種植成本為1000元,此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性,且互不影響,其具體情況如下表:
作物產(chǎn)量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市場價格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤,求X的分布列;
(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物,求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.
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【題目】自點A(-3,3)發(fā)出的光線L射到x軸上,被x軸反射,其反射光線所在直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光線L所在直線的方程。
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【題目】(題文)已知函數(shù)
(I)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(II)當時,若對于區(qū)間上的任意兩個不相等的實數(shù),都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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