Question

過橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則

1

|AF|

+

1

|BF|

=（　�。�

• A．

  4

  3

• B．

  3

  4

• C．

  3

  5

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：先根據(jù)橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁•x₂和x₁+x₂的值，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的值，最后根據(jù)弦長公式求出|AB|，利用韋達(dá)定理求出|AF|•|BF|，即可求得答案．

解答：解：由

X2

4

+

y2

3

=1，
得a²=4，b²=3，c²=a²-b²=1，左焦點(diǎn)為（-1，0）．
則過左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°直線l的方程為y=

3

（x+1）．
代入

X2

4

+

y2

3

=1，
得5x²+8x=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁•x₂=0，x₁+x₂=-

8

5

，
又y₁y₂=

3

（x₁+1）•

3

（x₂+1）=3x₁x₂+3（x₁+x₂）+3=-

9

5

，
根據(jù)弦長公式得：|AB|=

1+3

(- 8 5 )2-4×0

=

16

5

，
且|AF||BF|=

(x1+1)2+ y12

•

(x2+1)2+y22

=

( 1 3 y 1)2+y12

•

( 1 3 y 2)2+y22

=

4

3

|y₁y₂|=

12

5

∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

|AB|

|AF||BF|

=

4

3

故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．當(dāng)涉及過叫焦點(diǎn)的直線時，常需設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理來解決．