Question

過(guò)橢圓C：

x2

4

+y=1的右焦點(diǎn)作一直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，且M、N到直線x=

4

3

的距離之和為

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），M，N到直線x=

4

3

的距離分別為d₁，d₂．先看當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線L的方程為x=

3

，求得d₁+d₂=

2 3

3

≠

3

，不符合題意；再看當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根d₁+d₂=

3

求得x₁+x₂的值，進(jìn)而建立等式求得k，則直線方程可得．

解答：解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線L的方程為x=

3

或y=k（x-

3

），M，N到直線x=

4

3

的距離分別為d₁，d₂．
（1）若直線L的方程為x=

3

，有x₁=x₂=

3

，d₁=d₂=

4

3

-

3

=

3

3

，
d₁+d₂=

2 3

3

≠

3

，不合題設(shè)．
（2）若直線L的方程為y=k（x-

3

），有
x²+4k²（x-

3

）²-4=0
整理得：（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0
x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

∵d₁=

4

3

-x₁，d₂=

4

3

-x₂，d₁+d₂=

3

∴x₁+x₂=

5

3

∴

8 3 k2

1+4k2

=

5

3

解得：k=±

5

2

∴直線L的方程為：y=±

5

2

（x-

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．對(duì)于直線的方程問(wèn)題，一定要分斜率存在和不存在兩種情況討論．