Question

。

（Ⅰ）求的極值點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；

(Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）①時(shí)，， ∴在（－1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)既無(wú)極大值點(diǎn)，也無(wú)極小值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在上遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值點(diǎn)為－1，無(wú)極小值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在上遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點(diǎn)為－1，無(wú)極大值點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，方程有兩解；(Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求的極值點(diǎn)，先求函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，然后可對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得，令導(dǎo)數(shù)等零，求出的解，再利用導(dǎo)數(shù)大于0，導(dǎo)數(shù)小于0，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定極值點(diǎn)，但本題由于含有參數(shù)，需對(duì)討論（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，由此可得實(shí)數(shù)t的取值范圍；（Ⅲ）根據(jù)要證明當(dāng)時(shí)，，直接證明比較困難，可以利用分析法來(lái)證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個(gè)式子成立，兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個(gè)范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

試題解析：（Ⅰ）（1分）

①時(shí)，， ∴在（－1，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)既無(wú)極大值點(diǎn)，也無(wú)極小值點(diǎn)。（2分）

②當(dāng)時(shí)，在上遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)的極大值點(diǎn)為－1，無(wú)極小值點(diǎn)（3分）

③當(dāng)時(shí)，在上遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)的極小值點(diǎn)為－1，無(wú)極大值點(diǎn)（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

又，

∴，∴當(dāng)時(shí)，方程有兩解 （8分）

(Ⅲ）要證：只須證

只須證：，

設(shè)

則，（10分）

由（1）知在單調(diào)遞減，（12分）

∴，即是減函數(shù)，而m>n，

∴，故原不等式成立。 （14分）

考點(diǎn)：不等式的證明；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．