Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）證明不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）整理題設(shè)a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），進(jìn)而可推斷數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可數(shù)列{a_n-n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{a_n}的通項(xiàng)公式根據(jù)等比和等差數(shù)列的求和公式，求得S_n．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的S_n代入S_n+1-4S_n整理后根據(jù)-

1

2

(3n2+n-4)≤0證明原式．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題設(shè)a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=4^n-1+n．
所以數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

．
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的n∈N^*，Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4(

4n-1

3

+

n(n+1)

2

)=-

1

2

(3n2+n-4)≤0．
所以不等式S_n+1≤4S_n，對(duì)任意n∈N^*皆成立．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力．