【題目】橢圓一個焦點為,離心率

Ⅰ)求橢圓的方程式.

Ⅱ)定點,為橢圓上的動點,求的最大值;并求出取最大值時點的坐標求.

Ⅲ)定直線為橢圓上的動點,證明點的距離與到定直線的距離的比值為常數(shù),并求出此常數(shù)值.

【答案】(1)橢圓的方程為;(2)最大值為,此時點坐標為;(3)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)

【解析】分析:(Ⅰ)由橢圓一個焦點為,可知橢圓的焦點在軸上,且。進而由離心率,可得。再由求得?傻脵E圓的方程為。(Ⅱ)要求的最大值,應(yīng)設(shè)坐標,用兩點間的距離公式表示出來,然后求最值。

設(shè)點坐標為,則。進而可得,由橢圓的性質(zhì)可得,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時,取得最大值.此時點坐標為。

(Ⅲ)設(shè),則,所以點到的距離為:,由橢圓的性質(zhì)可得的范圍,所以 ?傻命c到直線的距離為,進而可得,所以的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)。

詳解:(Ⅰ)根據(jù)題意得,

故橢圓的方程為

(Ⅱ)設(shè)點坐標為,則

所以

所以,

∴當(dāng)時,取得最大值

最大值為,此時點坐標為

(Ⅲ)設(shè),則

所以

所以點的距離為:

由橢圓的性質(zhì)可得

所以

所以點到直線的距離為,

所以,

的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)

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