Question

設(shè)拋物線C₁：y=x²+h（h∈R）的焦點為F，過F點的直線L交拋物線與A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C₁的切線交于Q點．求：
（1）若Q點在直線y=-1上，求拋物線C₁的方程
（2）若Q點在圓C₂：x²+y²=1上，求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）令A(yù)（x1，x12+h），B（x2，x22+h），由已知求出切線AQ的方程為y=2x₁x-x₁²+h，切線BQ的方程為：y=2x₂x-x₂²+h，從而得到Q（

x1+x2

2

，x₁x₂+h），令直線L為：y=kx+h+

1

4

，代入C₁：y=x²+h，得：x2-kx-

1

4

=0，由韋達(dá)定理，得Q（

k

2

，h-

1

4

），由此能求出拋物線C₁的方程．
（2）過Q作y軸平行線交AB于M點，則S_△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3，由Q（

k

2

，h-

1

4

）點在圓C₂：x²+y²=1上，得k2=4-4(h-

1

4

)2∈[0，4]，由此能求出△ABQ面積的最大值．

解答： 解：（1）令A(yù)（x1，x12+h），B（x2，x22+h），
設(shè)切線AQ的方程為y-(x12+h)=k(x-x1)，
代入y=x²+h，得x2-kx+kx1-x12=0，
令△=k2-4(kx1-x12)=0，得k=2x₁，
∴拋物線C₁：y=x²+h在點A處的切線的斜率為k=2x₁，
∴切線AQ的方程為：y-（x12+h）=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-x₁²+h，①
同理，得切線BQ的方程為：y=2x₂x-x₂²+h，②
聯(lián)立①②，得Q（

x1+x2

2

，x₁x₂+h），
焦點F（0，h+

1

4

），令直線L為：y=kx+h+

1

4

，代入C₁：y=x²+h，
得：x2-kx-

1

4

=0，由韋達(dá)定理，得x1+x2=k，x1x2=-

1

4

，
∴Q（

k

2

，h-

1

4

），
∵Q（

k

2

，h-

1

4

）點在直線y=-1上，∴

k 2 =0 h- 1 4 =-1

，解得k=0，h=-

3

4

，
∴拋物線C₁的方程為y=x2-

3

4

．
（2）過Q作y軸平行線交AB于M點，則S_△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|，
M點為（

k

2

，

k2

2

+h+

1

4

），|QM|=

k2+1

2

，
|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

，
∴S_△ABQ=

1

2

|QM|•|x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3，
∵Q（

k

2

，h-

1

4

）點在圓C₂：x²+y²=1上，
∴

k2

4

+(h-

1

4

)2=1，
∴k2=4-4(h-

1

4

)2∈[0，4]，
∴△ABQ面積的最大值（S_△ABQ）_max=

1

4

(

4+1

)3=

5

4

5

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長公式的合理運用．