已知

（1）計算及的值。

（2）歸納出（n∈N）的值，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

 

答案：
解析：

當(dāng)n=1時，顯然f(1)=2，當(dāng)n=2時，f(2)=2+2=4，

當(dāng)n=3時，f(3)=4+3=7，當(dāng)n=4時，f(4)=f(3)+4，由此猜想：f(n)=f(n－1)+n，

把n取2，3，4……，n所得的n－1個式子累加，

得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+，即。

（1）當(dāng)n=1時，f(1)=，結(jié)論顯然成立。

（2）假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即平面內(nèi)滿足條件的k條直線把平面分成的區(qū)域個數(shù)為f(k)=，則當(dāng)n=k+1時，第k+1條直線與前k條直線有k個交點(diǎn)，這k個交點(diǎn)將第k+1條直線分成k+1段，而每一段又將它所在區(qū)域一分為二，這樣f(k+1)比f(k)多k+1。

∴，

∴當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立。

由（1）、（2）知，對任意n∈N結(jié)論都成立。

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A和B是拋物線上的兩個動點(diǎn)，且在A和B處的拋物線切線相互垂直，已知由A、B及拋物線的頂點(diǎn)所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為L1．對L1重復(fù)以上過程，又得一拋物線L2，余類推．設(shè)如此得到拋物線的序列為L1，L2，…，Ln，若拋物線的方程為y2=6x，經(jīng)專家計算得，L1：y2=2（x-1），L2：y2=
2
3
(x-1-
1
3
)=
2
3
(x-
4
3
)，L3：y2=
2
9
(x-1-
1
3
-
1
9
)=
2
9
(x-
13
9
)，…，Ln：y2=
2
Sn
(x-
Tn
Sn
)．   則2Tn-3Sn=
-1
-1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一張矩形紙片，剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第一次操作；在剩下的矩形紙片中再剪下一個正方形，剩下一個矩形，稱為第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則稱原矩形為n階奇異矩形．如圖1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，則稱矩形ABCD為2階奇異矩形．
（1）判斷與操作：
如圖2，矩形ABCD長為5，寬為2，它是奇異矩形嗎？如果是，請寫出它是幾階奇異矩形，并在圖中畫出裁剪線；如果不是，請說明理由．
（2）探究與計算：
已知矩形ABCD的一邊長為20，另一邊長為a（a＜20），且它是3階奇異矩形，請畫出矩形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖的下方寫出a的值．
（3）歸納與拓展：
已知矩形ABCD兩鄰邊的長分別為b，c（b＜c），且它是4階奇異矩形，求b：c（直接寫出結(jié)果）．精英家教網(wǎng)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：044

已知

（1）計算及的值。

（2）歸納出（n∈N）的值，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆四川省高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知向量，，其中，。

（1）試計算及的值。

（2）求向量與的夾角的正弦值。

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案