Question

設(shè)A和B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在A和B處的拋物線切線相互垂直，已知由A、B及拋物線的頂點(diǎn)所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為L(zhǎng)₁．對(duì)L₁重復(fù)以上過(guò)程，又得一拋物線L₂，余類(lèi)推．設(shè)如此得到拋物線的序列為L(zhǎng)₁，L₂，…，L_n，若拋物線的方程為y²=6x，經(jīng)專(zhuān)家計(jì)算得，L₁：y²=2（x-1），L2：y2=

2

3

(x-1-

1

3

)=

2

3

(x-

4

3

)，L3：y2=

2

9

(x-1-

1

3

-

1

9

)=

2

9

(x-

13

9

)，…，Ln：y2=

2

Sn

(x-

Tn

Sn

)．   則2T_n-3S_n=

-1

．

Answer 1

分析：寫(xiě)出分子上的數(shù)列觀察數(shù)列的結(jié)構(gòu)，看出數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差是一個(gè)等比數(shù)列，利用疊加的方法做出第n項(xiàng)，同樣寫(xiě)出分母上數(shù)列的項(xiàng)觀察得到這是一個(gè)等比數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)，做出最后兩個(gè)數(shù)的差，得到結(jié)果．

解答：解：由題意知1，4，13，40…組成一個(gè)數(shù)列，
數(shù)列的前后兩項(xiàng)之差是一個(gè)等比數(shù)列，
即a_n-a_n-1=3^n-1，
…
a₃-a₂=3²
a₂-a₁=3，
把上述式子相加得到a_n-1=3+3²+…+3^n-1
∴Tn=

3n-1

2

由1，3，9，27…組成的數(shù)列的通項(xiàng)是3^n-1，
∴s_n=3^n-1
∴2T_n-3S_n=2×

3n-1

2

-3×3n-1=-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，是一個(gè)考查數(shù)列問(wèn)題的題目，解題的關(guān)鍵是看清題目的中所給的數(shù)列的項(xiàng)，做出數(shù)列的通項(xiàng)，注意項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的對(duì)應(yīng)．