Question

【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且S3=9，a1 ， a3 ， a7成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足bn=（an﹣1）2n ， 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：等差數(shù)列{an}公差為d，首項(xiàng)為a1，

∵a1，a3，a7成等比數(shù)列．

∴a32=a1a7，

即（a1+2d）2=a1（a1+6d），

化簡(jiǎn)得d= a1，或d=0（舍去）．

當(dāng)d= a1，

由等差數(shù)列S3=3a2，

∴a2=3，得a1=2，d=1．

∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1，

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=n+1

（2）解：由（1）可知：an=n+1，

bn=（an﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n2n，

∴bn=n2n，

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，

2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，

兩式相減：得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，

=2n+1﹣2﹣n×2n+1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，Tn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）根據(jù)條件可知a32=a1a7 ， 即（a1+2d）2=a1（a1+6d），d和a1的關(guān)系，S3=3a2 ， 即可求得a1和d，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，采用乘以公比“錯(cuò)位相減法”，即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）(通項(xiàng)公式：或)，還要掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．