Question

如圖,已知直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上,若點(diǎn)A(－1,0)和點(diǎn)B(0,8)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)都在C上,求直線l和拋物線C的方程.

Answer 1

解:設(shè)拋物線C的方程為y²=2px(p＞0).

由于x軸、y軸不是所求的直線,故可設(shè)直線l的方程為y=kx(k≠0).

設(shè)A′(x₁,y₁)、B′(x₂,y₂)分別為A、B關(guān)于l的對稱點(diǎn),

因而AA′⊥l,且AA′的中點(diǎn)(,)在直線l上.

由此得方程組

解得                                                                           ①

同理得                                                                      ②

又A′、B′均在拋物線y²=2px(p＞0)上,

將①代入,得(－)²=2p·.

整理得k≠±1且p=.                                                                      ③

同理,由②代入,得［］²=2p·.

整理得p=.                                                                        ④

∴=.

解得k₁=,k₂=.

但當(dāng)k=時,由④知p＜0,故應(yīng)舍去.

∴k=.代入③,求得p=.

∴直線方程為y=x,

拋物線方程為y²=x.

點(diǎn)評:(1)本題是一道直線與拋物線的方程求解的綜合題,考查的是基本概念和性質(zhì).這是解析幾何的基本思想方法.

(2)對稱問題主要是平分、垂直的問題.