Question

（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在四棱錐中,底面,且底面為正方形,分別為的中點(diǎn)．

（1）求證:平面;

（2）求平面和平面的夾角.

 

Answer 1

證明見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：：（1）利用已知的線面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明線面平行，需證線線平行，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值;（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.

試題解析：（1）如圖，以為原點(diǎn),以為方向向量

建立空間直角坐標(biāo)系

則.

.

設(shè)平面的法向量為

即 令

則.

又平面平面

（2）底面是正方形,又平面

又,平面

向量是平面的一個(gè)法向量,又由（1）知平面的法向量.

二面角的平面角為.

考點(diǎn)：（1）證明直線與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問(wèn)題.