已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.
(1)求此幾何體的體積V的大小;
(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(3)試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q,使得AQBQ并說明理由.
(1);(2);(3)存在點(diǎn)Q,使得AQBQ.

試題分析:(1)由三視圖還原幾何體為一個錐體,利用錐體體積公式求解;(2)法1:化空間角為平面角,在一個三角形內(nèi)求值;法2:建立空間直角坐標(biāo)系求解;(3)法1:假設(shè)存在,通過構(gòu)造面面垂直來實(shí)現(xiàn)AQBQ;法2:建立空間直角坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)化為兩對應(yīng)向量數(shù)量積為零,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
試題解析:(1)由該幾何體的三視圖知,且EC="BC=AC=4" ,BD=1,



即該幾何體的體積V為.                 3分
(2)解法1:過點(diǎn)B作BF//ED交EC于F,連結(jié)AF,
則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角.    5分
在△BAF中,∵AB=,BF=AF=

即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.                 7分
解法2:以C為原點(diǎn),以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)

,∴ 
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為
(3)解法1:在DE上存在點(diǎn)Q,使得AQBQ.                    8分
取BC中點(diǎn)O,過點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q滿足題設(shè).
連結(jié)EO、OD,在Rt△ECO和Rt△OBD中
   ∴   
 ∴  
.                                              11分
,

∴以O(shè)為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切.切點(diǎn)為Q


, ∴ ∴      13分
面ACQ
.                                               14分
解法2: 以C為原點(diǎn),以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在,其坐標(biāo)為(0,m,n),則
,
∵AQBQ   ∴              ①
∵點(diǎn)Q在ED上,∴存在使得
     ②
②代入①得,解得
∴滿足題設(shè)的點(diǎn)Q存在,其坐標(biāo)為
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