【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2） 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， ，且，證明： .

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，知在上遞減；當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）由函數(shù)的解析式了的， ，分類討論有：當(dāng)時(shí)，知在上遞減；當(dāng)時(shí)， 在上遞減，在上遞增；

（2）由（1）知， ， ，且，故， ，原問題等價(jià)于，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為即可，而， ，構(gòu)造函數(shù)，令， ，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)可得，即，則結(jié)論得證.

試題解析：

（1）， ，

當(dāng)時(shí)， ，知在上是遞減的；

當(dāng)時(shí)， ，知在上是遞減的，在上遞增的.

（2）由（1）知， ， ，

依題意，即，

由得， ， ， ，

由及得， ，即，

欲證，只要，

注意到在上是遞減的，且，

只要證明即可，

由得，

所以

， ，

令， ，

則，知在上是遞增的，于是，即，

綜上， .

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求直方圖中a的值；

（Ⅱ）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分15分）如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為．

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)，將表示為的函數(shù)；

②設(shè)（），將表示為的函數(shù)；

（2）請您選用（1）問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】針對國家提出的延遲退休方案，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

支持

保留

不支持

歲以下

歲以上（含歲）

（1）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取個(gè)人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了人，求的值；

（2）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取人看成一個(gè)總體，從這人中任意選取人，求歲以下人數(shù)的分布列和期望；

（3）在接受調(diào)查的人中，有人給這項(xiàng)活動打出的分?jǐn)?shù)如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，把這個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下表提供了工廠技術(shù)改造后某種型號設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)y（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù):

x（年）

2

3

4

5

6

y（萬元）

1

2.5

3

4

4.5

（1）若知道y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

（2）已知該工廠技術(shù)改造前該型號設(shè)備使用10年的維修費(fèi)用為9萬元，試根據(jù)（1）求出的線性回歸方程，預(yù)測該型號設(shè)備技術(shù)改造后，使用10年的維修費(fèi)用能否比技術(shù)改造前降低?參考公式:，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， R.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；

（2）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由；

（3）當(dāng)，且時(shí)，證明：對任意，存在唯一的R，使得，且.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和 ，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且,。

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線上有一點(diǎn)在 的外接圓上，求的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年1月1日，我國全面實(shí)行二孩政策，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了街頭調(diào)查，在所有參與調(diào)查的青年男女中，持“響應(yīng)”“猶豫”和“不響應(yīng)”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：

響應(yīng)

猶豫

不響應(yīng)

男性青年

500

300

200

女性青年

300

200

300

根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為猶豫與否與性別有關(guān)？請說明理由.

猶豫

不猶豫

總計(jì)

男性青年

女性青年

總計(jì)

1800

參考公式：

參考數(shù)據(jù)：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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