Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求實數(shù)的取值范圍；

（2）已知函數(shù)，且，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算可得，由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，分函數(shù)在區(qū)間上是為單調(diào)增函數(shù)和單調(diào)減函數(shù)兩種情況討論，分別求出的取值范圍，綜合即可得答案；（2）根據(jù)題意，對求導分析可得，由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點，由（1）的結論，只需在區(qū)間內(nèi)兩個零點即可，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由題意得，當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時， 在區(qū)間上恒成立.

∴（其中），解得；

當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時， 在區(qū)間上恒成立，

∴（其中），解得．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．

（2）．

由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，

設該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).

∴在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理， 在區(qū)間內(nèi)存在零點.

∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點．

由（1）知，當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意．當時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意，

∴．令，得，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．

記的兩個零點為， ,

∴， ，必有， ．

由，得.

∴，

又∵， ，

∴．

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．