Question

【題目】已知 ，a∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關(guān)于x的方程f（x）=（a﹣1）4x
（3）設(shè)h（x）=2﹣xf（x）， 時，對任意x1 ， x2∈[﹣1，1]總有 成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令log2x=t即x=2t，則f（t）=a（2t）2﹣22t+1﹣a，

即f（x）=a22x﹣22x+1﹣a，x∈R

（2）解：由f（x）=（a﹣1）4x化簡得：22x﹣22x+1﹣a=0即（2x﹣1）2=a，

當a＜0時，方程無解，

當a≥0時，解得 ，

若0≤a＜1，則 ，

若a≥1，則

（3）解：對任意x1，x2∈[﹣1，1]總有 成立，等價于

當x∈[﹣1，1]時， ， ，

令2x=t，則 ，

令 ，

①當a≥1時， 單調(diào)遞增，

此時 ， ， 即 （舍），

②當 時， 單調(diào)遞增

此時 ， ， 即 ∴ ，

③當 時，

在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

且 ∴ ， ，

∴ 即 ，

∴ ，

綜上：

【解析】1、由題意可得22x﹣22x+1﹣a=0即（2x﹣1）2=a，對a 分情況討論可得當0≤a＜1，則 ，當a≥1，
2、由題意可得，分情況討論。①當a≥1時，a ≤ （舍） ②當 ≤ a < 1 時，a= ③當 ≤ a < 時, a ≤ ，∴ ≤ a < .
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的零點，需要了解函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標軸有交點，函數(shù)有零點才能得出正確答案．