若A1,A2,…,Am為集合A={1,2,…,n}(n≥2且n∈N*)的子集,且滿足兩個條件:
①A1∪A2∪…∪Am=A;
②對任意的{x,y}⊆A,至少存在一個i∈{1,2,3,…,m},使Ai∩{x,y}={x}或{y}.則稱集合組A1,A2,…,Am具有性質(zhì)P.
如圖,作n行m列數(shù)表,定義數(shù)表中的第k行第l列的數(shù)為akl=
1(k∈Al)
0(k∉Al)

a11 a12 a1m
a21 a22 a2m
an1 an2 anm
(Ⅰ)當n=4時,判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)P,如果是請畫出所對應的表格,如果不是請說明理由;
集合組1:A1={1,3},A2={2,3},A3={4};
集合組2:A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}.
(Ⅱ)當n=7時,若集合組A1,A2,A3具有性質(zhì)P,請先畫出所對應的7行3列的一個數(shù)表,再依此表格分別寫出集合A1,A2,A3;
(Ⅲ)當n=100時,集合組A1,A2,…,At是具有性質(zhì)P且所含集合個數(shù)最小的集合組,求t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值.(其中|Ai|表示集合Ai所含元素的個數(shù))
分析:(Ⅰ)由集合組1具有性質(zhì)P,所對應的數(shù)表知集合組2不具有性質(zhì)P,因為存在{2,3}⊆{1,2,3,4},有Ai∩{x,y}={x}或{y}矛盾,所以集合組A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}不具有性質(zhì)P.
(Ⅱ)由題意得:A1={3,4,5,7},A2={2,4,6,7},A3={1,5,6,7}.
(Ⅲ)設(shè)A1,A2,…,At所對應的數(shù)表為數(shù)表M,因為集合組A1,A2,…,At為具有性質(zhì)P的集合組,所以集合組A1,A2,…,At滿足條件①和②,下面詳細分析條件①和②,求得t的值及|A1|+|A2|+…|At|的最小值.
解答:精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)解:集合組1具有性質(zhì)P.…(1分)
所對應的數(shù)表為:
集合組2不具有性質(zhì)P.…(4分)
因為存在{2,3}⊆{1,2,3,4},
有{2,3}∩A1={2,3},{2,3}∩A2={2,3},{2,3}∩A3=∅,
與對任意的{x,y}⊆A,都至少存在一個i∈{1,2,3},有Ai∩{x,y}={x}或{y}矛盾,所以集合組A1={2,3,4},A2={2,3},A3={1,4}不具有性質(zhì)P.…(5分)
(Ⅱ)
A1={3,4,5,7},A2={2,4,6,7},A3={1,5,6,7}.…(8分)
(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對應的集合組也不同)
(Ⅲ)設(shè)A1,A2,…,At所對應的數(shù)表為數(shù)表M,
因為集合組A1,A2,…,At為具有性質(zhì)P的集合組,
所以集合組A1,A2,…,At滿足條件①和②,
由條件①:A1∪A2∪…∪At=A,
可得對任意x∈A,都存在i∈{1,2,3,…,t}有x∈Ai
所以axi=1,即第x行不全為0,
所以由條件①可知數(shù)表M中任意一行不全為0.…(9分)
由條件②知,對任意的{x,y}⊆A,都至少存在一個i∈{1,2,3,…,t},使Ai∩{x,y}={x}或{y},所以axi,ayi一定是一個1一個0,即第x行與第y行的第i列的兩個數(shù)一定不同.
所以由條件②可得數(shù)表M中任意兩行不完全相同.…(10分)
因為由0,1所構(gòu)成的t元有序數(shù)組共有2t個,去掉全是0的t元有序數(shù)組,共有2t-1個,又因數(shù)表M中任意兩行都不完全相同,所以100≤2t-1,
所以t≥7.
又t=7時,由0,1所構(gòu)成的7元有序數(shù)組共有128個,去掉全是0的數(shù)組,共127個,選擇其中的100個數(shù)組構(gòu)造100行7列數(shù)表,則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì)P.
所以t=7.…(12分)
因為|A1|+|A2|+…+|At|等于表格中數(shù)字1的個數(shù),
所以,要使|A1|+|A2|+…+|At|取得最小值,只需使表中1的個數(shù)盡可能少,
而t=7時,在數(shù)表M中,1的個數(shù)為1的行最多7行;1的個數(shù)為2的行最多C72=21行;1的個數(shù)為3的行最多C73=35行;1的個數(shù)為4的行最多C74=35行;
因為上述共有98行,所以還有2行各有5個1,
所以此時表格中最少有7+2×21+3×35+4×35+5×2=304個1.
所以|A1|+|A2|+…+|At|的最小值為304.…(14分)
點評:本小題主要考查交、并、補集的混合運算等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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