Question

（本小題滿(mǎn)分14分）在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以?xún)?nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線(xiàn)行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東 (其中，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.
（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;
（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由

Answer 1

（I）海里/小時(shí)；（2）船會(huì)進(jìn)入警戒水域

（1）先根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據(jù)sinθ=,求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．
（2）先假設(shè)直線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，根據(jù)余弦定理求出cos∠ABC的值，進(jìn)而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長(zhǎng)度，從而可確定Q在點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，根據(jù)QE=AE-AQ求出QE的長(zhǎng)度，然后過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線(xiàn)BC的距離，進(jìn)而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進(jìn)行比較即可得到答案．
解:如圖，AB=40，AC=10，
 
                ………2分
由于,所以cos=   ………4分
由余弦定理得BC=……6分
所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）    ………7分
（II）解法一  如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x₁，y₂）, C（x₁，y₂）,
BC與x軸的交點(diǎn)為D.
由題設(shè)有，x₁=y₁= AB=40,      ………8分
x₂=ACcos,
y₂=ACsin         ………10分
所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線(xiàn)l的斜率k=,直線(xiàn)l的方程為y=2x-40.        ………11分
又點(diǎn)E（0，-55）到直線(xiàn)l的距離d=              ………13分
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.               ………14分

解法二: 如圖所示，設(shè)直線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于Q.
在△ABC中，由余弦定理得，

==.
從而
在中，由正弦定理得，
AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.
過(guò)點(diǎn)E作EP BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線(xiàn)BC的距離.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.