Question

求過定點（0，1）的直線被雙曲線x2-

y2

4

=1截得的弦中點軌跡方程．

Answer 1

分析：方法一：利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得（4-k²）x²-2kx-5=0，設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則△=4k²+20（4-k²）＞0，借助于（0，1）是中點可求；
方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中點為P（x，y），代入方程，作差，再借助于（0，1）是中點求解．

解答：解：方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為y=kx+1，它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P（x，y），
由

y=kx+1 x2- y2 4 =1

得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴16k2＜80，|k|＜

5

，
且x1+x2=

2k

4-k2

，x1x2=-

5

4-k2

，
∴x=

1

2

(x1+x2)=

k

4-k2

，y=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(x1+x2)+1=

4

4-k2

，

x= k 4-k2 y= 4 4-k2

得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中點為P（x，y），
則

4x12-y12=4 4x22-y22=4

得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

，即

y

x

=

4x

y-1

，即4x²-y²+y=0（圖象的一部分）

點評：處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法--“點差法”，通常運(yùn)用于弦中點（中點弦）問題，將弦所在直線的斜率，弦的中點坐標(biāo)聯(lián)系起來，但必須以直線與曲線有交點為前提．如本題采用數(shù)形結(jié)合法，驗證以Q為中點的弦不存在，本題亦可利用假設(shè)直線方程與雙曲線聯(lián)立的方法，此時則需驗證方程的判別式．