Question

（1）求直線y=x+1被雙曲線截得的弦長；
（2）求過定點（0，1）的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線y=x+1代入雙曲線方程，利用韋達定理，即可求弦長；
（2）方法一：設(shè)直線的方程代入雙曲線方程，利用韋達定理，可得關(guān)于k的表達式，消參，即可得到弦中點軌跡方程；
方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用點差法，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）由得4x²-（x+1）²-4=0，即3x²-2x-5=0（*）
設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則有得，
（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設(shè)直線的方程為y=kx+1，它被雙曲線截得的弦為AB對應(yīng)的中點為P（x，y），
由得（4-k²）x²-2kx-5=0（*）
設(shè)方程（*）的解為x₁，x₂，則△=4k²+20（4-k²）＞0，
∴，且，
∴，
即，消去k得4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
方法二：設(shè)弦的兩個端點坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦中點為P（x，y），則
，兩式相減得：4（x₁+x₂）（x₁-x₂）=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴，即，即4x²-y²+y=0（y＜-4或y＞0）．
點評：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點差法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．