Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求證：平面PDF⊥平面PAB；
（3）求三棱錐P-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質(zhì)定理和面面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用等積變形和三棱錐的條件計算公式即可得出．

解答：（1）證明：取PD的中點為M，連接ME，MF，∵E是PC的中點，∴ME是△PCD的中位線．∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD，∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴DF⊥PA．
連接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB為正三角形．
∵F是AB的中點，∴DF⊥AB．
∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．
∵DF?平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．
（3）解：∵E是PC的中點，
∴點P到平面EFD的距離與點C到平面EFD的距離相等，故V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC，
又S_△DFC=

1

2

×2×

3

=

3

，E到平面DFC的距離h=

1

2

PA=

1

2

，
∴V_E-DFC=

1

3

×

3

×

1

2

=

3

6

．

點評：熟練掌握線面、面面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理及利用等積變形計算三棱錐的體積的方法是解題的關(guān)鍵．