Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若不等式對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的最大整數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)且，使得，求證： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，等價(jià)于對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，設(shè)，求出，即可求出實(shí)數(shù)的最大整數(shù)；（3）由題意，（ ），得出在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)， ，則介于之間，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性列出不等式組，即可求證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)， ，令，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

∴函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù).

且，綜上， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（2）由可得對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都成立.

記，則 ，可得，

令

∴在上為增函數(shù)，即在上為增函數(shù)

又∵,

∴存在唯一零點(diǎn)，記為 ，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù).

∴的最小值為.

∵，

∴，可得.

又∵

∴實(shí)數(shù)的最大整數(shù)為2.

(3)由題意，（ ），

令， 由題意可得， ,

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).

若存在實(shí)數(shù)， ，則介于之間，不妨設(shè).

∵在上單減，在上單增，且,

∴當(dāng)時(shí)， ，

由，可得，故，

又∵在上單調(diào)遞減，且

∴.

∴，同理，則,解得

∴.