Question

已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，求證：a2+b2+c2＞(++).

 

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：因?yàn)閍,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，由重要不等式得，a2+b2＞2ab，b2+c2＞2bc，a2+c2＞2ac，利用同向不等式的加法原則得，a2+b2+c2＞ab+bc+ac，由基本不等式得ab+bc＞2 ，bc+ac＞2，ab+ac＞2，再利用加法原則得，ab+bc+ac＞(++)，再利用不等式的傳遞性即得所要證明的結(jié)論.

試題解析：證明 ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.

又∵a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，

∴上面三個(gè)式子中都不能取“=”，

∴a2+b2+c2＞ab+bc+ac,

∵ab+bc≥2,bc+ac≥2,

ab+ac≥2,

又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，

∴ab+bc+ac＞(++),

∴a2+b2+c2＞(++) （14分）

考點(diǎn)：重要不等式；基本不等式；不等式性質(zhì)