Question

已知函數(shù)，其中且m為常數(shù)．

（1）試判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

（2）設(shè)函數(shù)在處取得極值，求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性．

 

Answer 1

（1）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2），在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

【解析】

試題分析：（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)區(qū)間判斷的符號(hào)即可證明；（2）利用函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)通過(guò)建立方程可求得的值，然后再通過(guò)判斷的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間．

（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)數(shù)得：．

∵當(dāng)時(shí)，，∴ ，

∴當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．

（2）求導(dǎo)數(shù)得：．

由是的極值點(diǎn)得，∴．

于是，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720042553873650/SYS201411172004358516140238_DA/SYS201411172004358516140238_DA.019.png">，，

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

因此當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；3、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．