Question

如圖,在三棱錐A－BCD中,側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且AD＝,BD＝CD＝1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(1)求證：AD^BC
(2)求二面角B－AC－D的大小
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD成30°角？若存在,確定E的位置；若 
不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

(1)見(jiàn)解析    (2) 所求二面角的大小是
(3)上存在點(diǎn),且時(shí),與面成角.

本試題主要考查了立體幾何中的線線的垂直的證明，以及二面角的求解問(wèn)題，線面角的求解的綜合運(yùn)用。
（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理得到證明。
（2）合理的建立空間直角坐標(biāo)系，表示平面的法向量，借助于向量的數(shù)量積的性質(zhì)定理，表示法向量的夾角，得到二面角的平面角的大小。
（3）對(duì)于探索性問(wèn)題，可以假設(shè)存在，然后在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步分析斜向量和平面的法向量，利用線面角的大小求解得到。
解： (1)方法一:作面于,連


又,則是正方形.
則
方法二:取的中點(diǎn),連、,
則有

(2)作于,作交于,
則就是二面角的平面角.
是的中點(diǎn),且∥
則
由余弦定理得
(3)設(shè)為所求的點(diǎn),作于,連.則∥
就是與面所成的角,則.
設(shè),易得
解得
故線段上存在點(diǎn),且時(shí),與面成角.
解法二:
（1）作面于,連、、,則四邊形是正方形,且,
以為原點(diǎn),以為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

則
 
(2)設(shè)平面的法向量為則由知:;
同理由知:可取同理,可求得平面的一個(gè)法向量為由圖可以看出,二面角的大小應(yīng)等于<>
則<>,即所求二面角的大小是.
(3)設(shè)是線段上一點(diǎn),則
平面的一個(gè)法向量為
要使與面成角,由圖可知與的夾角為,
所以
則,解得,,則
故線段上存在點(diǎn),且,時(shí)與面成角.