【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C: =1,設(shè)R(x0 , y0)是橢圓C上的任一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作兩條切線,分別交橢圓于點(diǎn)P,Q.
(1)若直線OP,OQ互相垂直,求圓R的方程;
(2)若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1 , k2 , 求證:2k1k2+1=0;
(3)試問(wèn)OP2+OQ2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:由圓R的方程知,圓R的半徑的半徑 ,
因?yàn)橹本OP,OQ互相垂直,且和圓R相切,
所以 ,即 ,①
又點(diǎn)R在橢圓C上,所以 ,②
聯(lián)立①②,解得 …(3分)
所以所求圓R的方程為
(2)解:因?yàn)橹本OP:y=k1x,OQ:y=k2x,與圓R相切,
所以 ,化簡(jiǎn)得 =0
同理 ,
所以k1,k2是方程(x02﹣8)k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
因?yàn)辄c(diǎn)R(x0,y0)在橢圓C上,所以 ,即 ,
所以 ,即2k1k2+1=0
(3)解:OP2+OQ2是定值,定值為36,
理由如下:
法一:(i)當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立 解得
所以 ,同理,得 ,
由 ,
所以 = = = =36
(ii)當(dāng)直線ξ落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有OP2+OQ2=36,
綜上:OP2+OQ2=36. …(16分)
法二:(i)當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
因?yàn)?k1k2+1=0,所以 ,即 ,
因?yàn)镻(x1,y1),Q(x2,y2),在橢圓C上,所以 ,
即 ,
所以 ,整理得 ,
所以 ,
所以O(shè)P2+OQ2=36.
(ii)當(dāng)直線OP,OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有OP2+OQ2=36,
綜上:OP2+OQ2=36
【解析】(1)通過(guò)直線OP,OQ互相垂直,以及點(diǎn)的坐標(biāo)適合橢圓方程,求出圓的圓心,然后求圓R的方程;(2)因?yàn)橹本OP:y=k1x,OQ:y=k2x,與圓R相切,推出k1 , k2是方程 =的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,利用韋達(dá)定理推出k1k2 . 結(jié)合點(diǎn)R(x0 , y0)在橢圓C上,證明2k1k2+1=0.(3)OP2+OQ2是定值,定值為36,理由如下:
法一:(i)當(dāng)直線ξ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),
聯(lián)立 ,推出 , ,由 ,求出OP2+OQ2是定值.
(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有OP2+OQ2=36.
法二:(i)當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2),通過(guò)2k1k2+1=0,推出 ,利用P(x1 , y1),Q(x2 , y2),在橢圓C上,聯(lián)立 ,推出OP2+OQ2=36.即可.
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(2)令bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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A.(0, )
B.
C.
D.
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B.(﹣4,0)
C.(0, )
D.(﹣4, )
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交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問(wèn)題:
按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定, .某同學(xué)家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年,記為該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
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