Question

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實(shí)數(shù)

根；②函數(shù)”[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]

（I）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說明理由；

（II）集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若 的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意

成立。試用這一性

質(zhì)證明：方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

（III）對(duì)于M中的函數(shù) 的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義

域中任意的當(dāng)且

 

Answer 1

【答案】

（I）是

（II）證明略

（III）證明略

【解析】（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052322430542187925/SYS201205232244319843524822_DA.files/image001.png">

所以

又因?yàn)楫?dāng)，所以方程有實(shí)數(shù)根0，

所以函數(shù)是集合M中的元素。                            …………4分

（2）假設(shè)方程存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則                                                     …………5分

不妨設(shè)，根據(jù)題意存在數(shù)，

使得等式成立，                               …………7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052322430542187925/SYS201205232244319843524822_DA.files/image011.png">

與已知只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；……9分

（3）不妨設(shè)為增函數(shù)，

所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052322430542187925/SYS201205232244319843524822_DA.files/image015.png">為減函數(shù)，                       …………10分

所以                                                        …………11分

所以，

即

所以