Question

（2012•江西模擬）設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（1）若函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個元素，證明：方程f（x）-x=0只有一個實根；
（2）判斷函數(shù)g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3(x＞1)是否是集合M中的元素，并說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）為集合M中的任意一個元素，對于定義域中任意α，β，證明|f（α）-f（β）|≤|α-β|

Answer 1

分析：（1）構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-x，由已知可判斷h（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，由單調(diào)函數(shù)至多有一個零點，及方程f（x）-x=0有實根，可證得答案；
（2）結(jié)合函數(shù)g（x）=

x

2

-

lnx

2

+3(x＞1)，分析條件：①方程g（x）-x=0有實根；②函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)g′（x）滿足0＜g′（x）＜1．兩個條件是否滿足，可得結(jié)論；
（3）不妨設(shè)α≤β，由（1）證得函數(shù)的單調(diào)性，易證明0≤f（β）-f（α）≤β-α，進而根據(jù)絕對值的定義得到結(jié)論．

解答：證明：：（1）令h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
所以，方程h（x）=0，即f（x）-x=0至多有一解，
又由題設(shè)①知方程f（x）-x=0有實數(shù)根，
所以，方程f（x）-x=0有且只有一個實數(shù)根…..（4分）
（2）易知，g′（x）=

1

2

-

1

2x

，則0＜g′（x）＜1，滿足條件②；
令F（x）=g（x）-x=-

x

2

-

lnx

2

+3(x＞1)，
則F（e）=-

e

2

-

lne

2

+3=-

e

2

+

5

2

＞0，F(xiàn)（e²）=-

e2

2

+1＜0，…..（7分）
又F（x）在區(qū)間[e，e²]上連續(xù)，所以F（x）在[e，e²]上存在零點x₀，
即方程g（x）-x有實數(shù)根x₀∈[e，e²]，故g（x）滿足條件①，
綜上可知，g（x）∈M…（9分）
（Ⅲ）不妨設(shè)α≤β，∵f′（x）＞0，∴f（x）單調(diào)遞增，
∴f（α）≤f（β），即f（β）-f（α）≥0，，
令h（x）=f（x）-x，則h′（x）=f′（x）-1＜0，故h（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（β）-β≤f（α）-α，即f（β）-f（α）≤β-α，
∴0≤f（β）-f（α）≤β-α，
則有|f（α）-f（β）|≤|α-β|．…..…．（13分）

點評：本題是函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，是函數(shù)零點與方程根關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷函數(shù)零點的個數(shù)及對應(yīng)方程根的個數(shù)難度較大．