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已知函數f(x)=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
,x∈R.
(Ⅰ)若x∈[
5
24
π,
3
4
π]
,求函數f(x)的最大值和最小值,并寫出相應的x的值;
(Ⅱ)設△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足c=
3
,f(C)=0,且sinB=2sinA,求a、b的值.
分析:(Ⅰ)利用二倍角、輔助角公式化簡函數,結合角的范圍,即可求函數f(x)的最大值和最小值,并寫出相應的x的值;
(Ⅱ)先求C,再利用余弦定理、正弦定理,即可求a、b的值.
解答:解(Ⅰ)f(x)=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1+cos2x
2
-
1
2
=sin(2x-
π
6
)-1…(3分)
t=2x-
π
6
t∈[
π
4
,
3
]
,∴f(t)=sint-1,
∴當t=
π
2
x=
π
3
時,f(x)max=0
t=
3
x=
4
時,f(x)min=-
3
2
-1
;    …(6分)
(Ⅱ)f(C)=sin(2C-
π
6
)-1=0,則sin(2C-
π
6
)=1,…(7分)
∵0<C<π,∴0<2C>2π,
-
π
6
<2C-
π
6
11π
6
,
∴2C-
π
6
=
π
2
,∴C=
π
3
    …(9分)
∵sinB=2sinA,∴由正弦定理得b=2a ①…(10分)
由余弦定理得c2=a2+b2-ab=3  ②…(11分)
由①②解得:a=1,b=2.          …(12分)
點評:本題考查三角函數的化簡,考查三角函數的性質,考查正弦定理、余弦定理的運用,考查學生分析轉化問題的能力,正確化簡函數是關鍵.
練習冊系列答案
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3-x
+
1
x+2
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3-x
+
1
x+2
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x
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恒成立,求實數k的取值范圍.

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