Question

已知函數(shù)f（x）=3-2log₂x，g（x）=log₂x．
（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果對(duì)任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，即確定函數(shù)的值域；
（2）利用換元法化簡(jiǎn)函數(shù)，再對(duì)新變?cè)�分�?lèi)討論，同時(shí)結(jié)合分離參數(shù)法，利用基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）h(x)=(4-2log2x)•log2x=-2(log2x-1)2+2…（2分）
因?yàn)閤∈[1，4]，所以log₂x∈[0，2]，…（4分）
故函數(shù)h（x）的值域?yàn)閇0，2]…（6分）
（2）由f(x2)•f(

x

)＞k•g(x)得（3-4log₂x）（3-log₂x）＞k•log₂x
令t=log₂x，因?yàn)閤∈[1，4]，所以t=log₂x∈[0，2]
所以（3-4t）（3-t）＞k•t對(duì)一切的t∈[0，2]恒成立…（8分）
1°當(dāng)t=0時(shí)，k∈R；…（9分）
2°當(dāng)t∈（0，2]時(shí)，k＜

(3-4t)(3-t)

t

恒成立，即k＜4t+

9

t

-15…（11分）
因?yàn)?span id="ssgwqys" class="MathJye">4t+

9

t

≥12，當(dāng)且僅當(dāng)4t=

9

t

，即t=

3

2

時(shí)取等號(hào)…（12分）
所以4t+

9

t

-15的最小值為-3…（13分）
綜上，k∈（-∞，-3）…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，利用基本不等式求最值．