Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，記直線與曲線分別交于兩點(diǎn).

（1）求曲線和的直角坐標(biāo)方程；

（2）證明：成等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】(1), .（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）曲線C的極坐標(biāo)方程左右兩邊同乘 ，再利用 可求其直角坐標(biāo)方程；消參可求直線的普通方程；

（2）把直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理分別表示 ，利用等比中項(xiàng)法即可證明。

（1）由，得 ，

所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由 ，消去參數(shù)，得直線的普通方程為.

（2）證明：將直線的參數(shù)方程代入中，得.

設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則有，，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以，，成等比數(shù)列.