Question

【題目】已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，直線：y＝kx＋b（k≠0）交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝4，M（0，3）．

（1）若AB的中點(diǎn)為T，直線MT的斜率為，證明：k· 為定值；

（2）求△ABM面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）聯(lián)立求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T（2k，1），再計算得k·＝－1．（2）先求出點(diǎn)M到直線l距離，再求出，再求出 ，最后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求面積的最大值得解.

（1）證明：聯(lián)立，消去y得，x2－4kx－4b＝0，

△＝16k2＋16b＞0，即k2＋b＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由韋達(dá)定理得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，

因?yàn)閨AF|＋|BF|＝4，

由拋物線定義得y1＋1＋y2＋1＝4，得y1＋y2＝2，

所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為T（2k，1），

所以，所以k·＝－1．

（2）由（1）得|x1－x2|2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝16（k2＋b），

，

設(shè)點(diǎn)M到直線l距離為d，則，

而由（1）知，y1＋y2＝kx1＋b＋kx2＋b＝k（x1＋x2）＋2b＝4k2＋2b＝2，

即2k2＋b＝1，即b＝1－2k2，由△＝16k2＋16b＞0，得0＜k2＜1，

所以 ，

令t＝k2，0＜t＜1，設(shè)f（t）＝（1＋t）2（1－t）＝1＋t－t2－t3，0＜t＜1，

＝1－2t－3t2＝（t＋1）（－3t＋1），時，＞0，f（t）為增函數(shù)；

時，＜0，f（t）為減函數(shù)；

所以當(dāng)，，

所以，S△ABM的最大值為．