Question

（1）設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項(xiàng)均不為零的n（n≥4）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d≠0。若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列。
（i）當(dāng)n=4時(shí)，求的數(shù)值；
（ii）求n的所有可能值。
（2）求證：對(duì)于給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列b₁，b₂，…，b_n，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列。

Answer 1

解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：
一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d₀=0
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d₀，a，a+d₀成等比數(shù)列，則a²=（a-d₀）（a+d₀），由此得d₀=0
（1）（i）當(dāng)n=4時(shí)，由于數(shù)列的公差d≠0，故由“基本事實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a₂或a₃
①若刪去a₂，則由a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，得
因d≠0，故由上式得a²=-4d，即
此時(shí)數(shù)列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設(shè)；
②若刪去a₃，則由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d）
因d≠0故由上式得a₁=d，即
此時(shí)數(shù)列為d，2d，3d，4d，滿足題設(shè)
綜上可知，的值為-4或1。
（ii）若n≥6，則從滿足題設(shè)的數(shù)列a₁，a₂，…a_n中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列a₁，a₂，…，a_n的公差必為0，這與題設(shè)矛盾
所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5
又因題設(shè)n≥4，故n=4或5
當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。
當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列
則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a₃，從而
成等比數(shù)列
故
分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得
，故d=0
矛盾。因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，綜上可知，n只能為4。
（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d'的n項(xiàng)等差數(shù)列

其中三項(xiàng)成等比數(shù)列
這里
則有
化簡(jiǎn)得
由b₁d'≠0知或同時(shí)為零，或均不為零
若
則有
即矛盾
因此都不為零
故由（*）得
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110906/201109061429551471064.gif">均為非負(fù)整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而是一個(gè)有理數(shù)
于是，對(duì)于任意的正整數(shù)n≥4，只要取為無理數(shù)，則相應(yīng)的數(shù)列就是滿足要求的數(shù)列，例如，取那么n項(xiàng)數(shù)列滿足要求。