Question

已知球的直徑AB=2，C、D是該球球面上的兩點，且BC=CD=DB=，則三棱錐A-BCD的體積為________．

Answer 1

分析：取CD中點E，連接AE、BE，可證出△ACD、△BCD都是等邊三角形，并且CD⊥平面ABE，由此將三棱錐A-BCD的體積分為三棱錐C-ABE與三棱錐D-ABE的體積之和，結合題中數(shù)據(jù)算出△ABE中的面積，用錐體體積公式即可求出三棱錐A-BCD的體積．
解答：∵AB是球的直徑，D、C兩點在球面上
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD=
∴AC=AD==CD
取CD中點E，連接AE、BE
∵等邊△ACD中，AE⊥CD，等邊△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE=×=，AB=2
∴△ABE中的面積S=
由此可得三棱錐A-BCD的體積V=V_C-ABE+V_D-ABE=S_△ABE•CE+S_△ABE•DE=S_△ABE•CD=××=
故答案為：
點評：本題給出特殊的球內(nèi)接三棱錐，求它的體積，著重考查了球內(nèi)接多面體、線面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．