Question

已知球的直徑AB=2，C、D是該球球面上的兩點(diǎn)，且BC=CD=DB=

2

，則三棱錐A-BCD的體積為

1

3

．

Answer 1

分析：取CD中點(diǎn)E，連接AE、BE，可證出△ACD、△BCD都是等邊三角形，并且CD⊥平面ABE，由此將三棱錐A-BCD的體積分為三棱錐C-ABE與三棱錐D-ABE的體積之和，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出△ABE中的面積，用錐體體積公式即可求出三棱錐A-BCD的體積．

解答：解：∵AB是球的直徑，D、C兩點(diǎn)在球面上
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵AB=2，BC=BD=

2

∴AC=AD=

2

=CD
取CD中點(diǎn)E，連接AE、BE
∵等邊△ACD中，AE⊥CD，等邊△BCD中，BE⊥CD，BE∩AE=E
∴CD⊥平面ABE
∵△ABE中，BE=AE=

3

2

×

2

=

6

2

，AB=2
∴△ABE中的面積S=

2

2

由此可得三棱錐A-BCD的體積V=V_C-ABE+V_D-ABE=

1

3

S_△ABE•CE+

1

3

S_△ABE•DE=

1

3

S_△ABE•CD=

1

3

×

2

2

×

2

=

1

3

故答案為：

1

3

點(diǎn)評：本題給出特殊的球內(nèi)接三棱錐，求它的體積，著重考查了球內(nèi)接多面體、線面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．