【題目】如圖，三棱錐中，點分別是的中點，點是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若平面平面，，，，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）延長交于點，點為的中點，則有，可證平面，平面，從而有平面平面，即可證明結(jié)論；

（2）由，得，再由平面平面，得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出坐標，進而求出平面與平面的法向量坐標，即可求解.

（1）證明：延長交于點，點為的中點，

因為，分別是棱，的中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

所以平面.

同理可證平面

又，平面，平面，

所以平面平面，

因為平面，所以平面

（2）連接，因為，

是的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以為坐標原點，以向量所在的方向分別作為軸、軸的正方向，

以與向量垂直的方向為軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系

設(shè)，則，

，

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即

令，得，于是取

又平面的一個法向量為，

則，即

令，得

于是取

設(shè)平面與平面的所成的銳二面角為

則

所以平面與平面的所成的銳二面角的余弦值為

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【題目】某學(xué)校高二年級舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽，計分規(guī)則如下表：

每分鐘跳繩個數(shù)

得分

16

17

18

19

20

年級組為了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機抽取了100名學(xué)生的跳繩個數(shù)作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個數(shù)中，任意抽取2人的跳繩個數(shù)，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡分數(shù)表示）

（2）若該校高二年級共有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表）.利用所得的正態(tài)分布模型，解決以下問題：

（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

（ii）若在全年級所有學(xué)生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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【題目】已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓方程為，過圓上任意一點作圓的切線，切線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，設(shè)為的中點，求的取值范圍.

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【題目】在平面直角坐標系中，曲線是由兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的，對于曲線，有下列四個結(jié)論：①曲線是軸對稱圖形；②曲線上所有的點都在單位圓內(nèi)；③曲線是中心對稱圖形；④曲線上所有點的縱坐標.其中，所有正確結(jié)論的序號是______.

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（1）求證：平面；

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