Question

1．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BE∥平面PAD；

(2)平面EBD能垂直于平面ABCD嗎，為什么？

2．在本題中，若平面EBD⊥平面ABCD，則四邊形ABCD需滿(mǎn)足什么說(shuō)明條件？

Answer 1

答案：
解析：

1．(1)證明：如圖，取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、AF，則EF∥CD，且CD＝2EF． 　　又∵AB∥CD，CD＝2AB，∴EF∥AB且EF＝AB． 　　∴四邊形ABEF是平行四邊形． 　　∴AF∥BE．而AF平面PAD．∴BE∥平面PAD． 　　(2)解：如圖假設(shè)平面EBD能垂直于底面ABCD，過(guò)點(diǎn)E作EO⊥BD于點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO． 　　∵面BDE∩面ABCD＝BD，且EO面BDE，∴EO⊥面ABCD． 　　又∵PA⊥面ABCD，直線(xiàn)AC是PC在面ABCD上的射影， 　　∴平面ABCD的一條斜線(xiàn)PC上點(diǎn)E在面ABCD內(nèi)的射影O在直線(xiàn)AC上． 　　同時(shí)，EO∥PA．又E為PC的中點(diǎn)， 　　∴O為AC的中點(diǎn)．由AB∥CD可知△ABO∽△CDO，且相似比為． 　　∴AB＝CD．這與已知條件四邊形ABCD為梯形，且CD＝2AB矛盾． 　　∴假設(shè)“平面BDE⊥平面ABCD”是不成立的． 　　因此，平面BDE不能垂直于平面ABCD． 　　2．四邊形ABCD為平行四邊形． 　　思路分析：證線(xiàn)面平行，只要證出線(xiàn)平行于面內(nèi)的一條直線(xiàn)即可．由E為PC的中點(diǎn)，所以取PD的中點(diǎn)F．

提示：

解答探索性問(wèn)題時(shí)，可從假設(shè)命題成立入手，若導(dǎo)出矛盾，說(shuō)明假設(shè)不成立；若導(dǎo)不出矛盾，說(shuō)明假設(shè)成立．