如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,點E,F(xiàn)分別是AB和PC的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)若CD=2PD=2AD=2,四棱錐P-ABCD外接球的表面積.
分析:(1)取PD的中點G,連接FG,GA,由G、F分別是PD、PC的中點,知GF∥DC,GF=
1
2
DC,由E是AB中點,AE=
1
2
AB,矩形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,知四邊形AEFG是平行四邊形,由此能夠證明EF∥平面PDA.
(2)由底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,知AB⊥平面PAD,故四棱錐P-ABCD的 外接球即以DP,DA,DC為棱的長方體的外接球.由此能求出四棱錐P-ABCD外接球的表面積.
解答:(1)證明:取PD的中點G,連接FG,GA,由G、F分別是PD、PC的中點,知GF是△PDC的中位線,
GF∥DC,GF=
1
2
DC,
E是AB中點,AE=
1
2
AB,
矩形ABCD中,AB∥DC,AB=DC,
∴GF∥AE,GF=AE?…(3分)
∴四邊形AEFG是平行四邊形,EF∥AG,
EF在平面PDA外,AG在平面PDA內(nèi),
∴EF∥平面PDA.…(6分)
(2)解:∵底面ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,
∴AB⊥AD,AB⊥PD,
∴AB⊥平面PAD,
∴四棱錐P-ABCD的 外接球即以DP,DA,DC為棱的長方體的外接球.
∴R=
12+12+22
2
=
6
2

∴S=4πR2=6π.…(12分)
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查四棱錐的外接球的表面積的求法.解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
練習冊系列答案
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如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大小;當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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