【題目】如圖,在四棱錐 中,平面,底面為菱形,且,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)若,,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)菱形基本性質(zhì)得BC⊥AE,再由線面垂直得BC⊥AP,故BC⊥平面PAE;
(2)以P為坐標(biāo)原點,的方向分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面BAP與平面CDP的法向量計算即可.
(1)連接AC,因為底面ABCD為菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形,
因為E為BC的中點,所以BC⊥AE,又因為AP⊥平面PBC,BC平面PBC,
所以BC⊥AP,因為AP∩AE=A,AP,AE平面PAE,所以BC⊥平面PAE;
(2)因為AP⊥平面PBC,PB平面PBC,所以AP⊥PB,又因為AB=2,PA=1,所以PB=,
由(1)得BC⊥PE,又因為E為BC中點,所以PB=PC=,EC=1,所以PE=,
如圖,過點P作BC的平行線PQ,則PQ,PE,PA兩兩互相垂直,
以P為坐標(biāo)原點,的方向分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,0),A(0,0,1),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,1),
設(shè)平面BAP的一個法向量=(x,y,z),又=(0,0,1),=(,﹣1,0),
由,得x﹣y=0,z=0,令x=1,則=(1,,0),
設(shè)平面CDP的一個法向量=(a,b,c),又=(,1,0),=(0,2,1),
由,得a+b=0,2y+z=0,令a=1,則=(1,﹣,2),
所以,即平面ABP與平面CDP所成銳二面角的余弦值為.
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【題目】如圖,OM,ON是兩條海岸線,Q為海中一個小島,A為海岸線OM上的一個碼頭.已知,,Q到海岸線OM,ON的距離分別為3 km,km.現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個碼頭,使得在水上旅游直線AB經(jīng)過小島Q.
(1)求水上旅游線AB的長;
(2)若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個圓形強水波P,從水波生成t h時的半徑為(a為大于零的常數(shù)).強水波開始生成時,一游輪以km/h的速度自碼頭A開往碼頭B,問實數(shù)a在什么范圍取值時,強水波不會波及游輪的航行.
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù).
(1)求的最大值;
(2)當(dāng)時,方程有三個實根,求的取值范圍.
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【題目】已知定義在上的數(shù)滿足,當(dāng)時.若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
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【題目】如圖,在邊長為的正方形中,線段BC的端點分別在邊、上滑動,且,現(xiàn)將,分別沿AB,AC折起使點重合,重合后記為點,得到三被錐.現(xiàn)有以下結(jié)論:
①平面;
②當(dāng)分別為、的中點時,三棱錐的外接球的表面積為;
③的取值范圍為;
④三棱錐體積的最大值為.
則正確的結(jié)論的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】金石文化,是中國悠久文化之一.“金”是指“銅”,“石”是指“石頭”,“金石文化”是指在銅器或石頭上刻有文字的器件.在一千多年前,有一種凸多面體工藝品,是金石文化的代表作,此工藝品的三視圖是三個全等的正八邊形(如圖),若一個三視圖(即一個正八邊形)的面積是,則該工藝品共有______個面,表面積是______.
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【題目】現(xiàn)有下列四個結(jié)論,其中所有正確結(jié)論的編號是___________.
①若,則的最大值為;
②若,,是等差數(shù)列的前項,則;
③“”的一個必要不充分條件是“”;
④“,”的否定為“,”.
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【題目】已知函數(shù) 。
(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(2)若在點處的切線方程為,若對任意的
恒有,求的取值范圍(是自然對數(shù)的底數(shù))。
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