Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

(n+2)an

3

，且a₁=1．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令b_n=

2n+1

a 2 n

，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得1+a₂=

4a2

3

，1+3+a₃=

5a3

3

，由此能求出a₂，a₃．
（2）由已知得a_n=S_n-S_n-1=

(n+2)an

3

-

(n+1)an-1

3

，從而

an

an-1

=

n+1

n-1

，由此利用累乘法能求出a_n．
（3）由b_n=

2n+1

a 2 n

=

2n+1

n2(n+1)2 4

=4[

1

n2

-

1

(n+1)2

]，能求出{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=

(n+2)an

3

，且a₁=1．
∴1+a₂=

4a2

3

，解得a₂=3，
1+3+a₃=

5a3

3

，解得a₃=6．
（2）∵S_n=

(n+2)an

3

，∴n≥2時(shí)，S_n-1=

(n+1)an-1

3

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

(n+2)an

3

-

(n+1)an-1

3

，
∴（n-1）a_n=（n+1）a_n-1，

an

an-1

=

n+1

n-1

，
∴a_n=a1×

a2

a1

×

a3

a2

×…×

an

an-1

=1×

3

1

×

4

2

×…×

n

n-2

×

n+1

n-1

=

n(n+1)

2

，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
（3）b_n=

2n+1

a 2 n

=

2n+1

n2(n+1)2 4

=4[

1

n2

-

1

(n+1)2

]，
∴T_n=4[

1

12

-

1

22

+

1

22

-

1

32

+

1

n2

-

1

(n+1)2

]，
=4[1-

1

(n+1)2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意累加法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．