Question

已知圓x²+y²=1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，若圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，則的取值范圍為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   [-1，0）

Answer 1

B
分析：先設(shè)P（x，y） A（-1，0），B（1，0）分別表示出，，，根據(jù)把，代入|PA|•|PB|=PO²整理可得x²-y²=可知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，通過(guò)與圓的方程聯(lián)立即可求得它們的交點(diǎn)，得x²=，但P（x，y）在圓內(nèi)，故對(duì)P，只能x²＜，又根據(jù)x²-y²=可知x²＞=，進(jìn)而可得的x²范圍，設(shè)z=•=x²-1+y²，把x²-y²=代入z，進(jìn)而可得答案．
解答：設(shè)P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
則=（-1-x，-y）
=（1-x，-y）
=（-x，-y）
設(shè)z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=（2）
這是P點(diǎn)滿足的條件 （其圖形為一雙曲線）
求它與圓的交點(diǎn)：
即，解方程組：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=（4）
得x²=（5）
（但P（x，y）在圓內(nèi)，故對(duì)P，只能x²＜
又由（2）知x²＞=，
即≤x²＜（6）
由（2）還得：y²=x²-
代入（1），得
z=2x²-（7）
由（（6），（7）知，z的取值范圍為
為：[-，0）
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列和平面向量的性質(zhì)．要特別把握好平面向量的運(yùn)算法則．