Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，已知上下兩底面為正方形，且邊長(zhǎng)均為1；側(cè)棱，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（Ⅰ）確定點(diǎn)的位置，使得；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的平面角余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）為的四等分點(diǎn)；（Ⅱ） .

試題分析：（Ⅰ）用向量法的解題步驟是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0，則這兩個(gè)向量垂直，得出結(jié)論；（Ⅱ）二面角的問(wèn)題，找到兩個(gè)平面的法向量的夾角，利用向量的夾角公式求解.
試題解析：方法一：

(Ⅰ)如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
易得       2分
由題意得,設(shè)
又
則由得，
∴,得為的四等分點(diǎn).         6分
(Ⅱ)易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為
則,得，取，得，      10分
∴，∴二面角的平面角余弦值為.12分
方法二：
（Ⅰ）∵在平面內(nèi)的射影為，且四邊形為正方形，為中點(diǎn)， ∴
同理，在平面內(nèi)的射影為，則
由△～△， ∴,得為的四等分點(diǎn).        6分
（Ⅱ）∵平面,過(guò)點(diǎn)作，垂足為；
連結(jié)，則為二面角的平面角；          8分
由，得,解得
∴在中，,
∴；∴二面角的平面角余弦值為.  12分