Question

在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目是：老板給你兩種加工資的方案．第一種方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工資數(shù)是在上次所加工資數(shù)的基礎(chǔ)上再增加1000元；第二種方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工資數(shù)是在上次所加工資數(shù)的基礎(chǔ)上再增加300元，請選擇一種．
根據(jù)上述條件，試問：
（1）如果你將在該公司干十年，你將選擇哪一種加工資的方案？（說明理由）
（2）如果第二種方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范圍內(nèi)取值時，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪？

Answer 1

解：（1）假設(shè)他進(jìn)廠的工資是x元，那么他第1年月工資x元，第2年月工資（x+1000）元，第3年月工資（x+2000）元，…第10年月工資（x+9000）元．
依據(jù)第一種方案這10年他總共的工資：
12×（x+x+1000+x+1000×2+…+x+1000×9）=120x+45000（元）
依據(jù)第二種方案這10年他總共的工資：
6×（x+x+300+x+300×2+…+x+300×19）=120x+57000（元）
（2）第一種方案這n年他總共的工資：12nx+1000=12nx+6000n（n-1）
第二種方案這n年他總共的工資：12nx+6an（2n-1）
6an（2n-1）＞6000n（n-1），即a＞，當(dāng)n趨向于無窮大時，不等式左邊趨向于500
故當(dāng)a≥500時，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪
分析：（1）為了決定選擇哪一種加工資的方案，主要看看第10年末，哪一個方案薪金更多，故只要計算出兩個方案的薪金總量即可；
（2）先計算出第n年末，依第一方案，得到的薪金；依第二方案，得到的薪金，由題意an（2n+1）＞500n（n+1），對所有正整數(shù)恒成立，最后分離出參數(shù)a，即可求得a在什么范圍內(nèi)取值時，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪．
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、數(shù)列求和及函數(shù)的最值、恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．