近日國內(nèi)某大報紙有如下報導：
加薪的學問
學數(shù)學，其實是要使人聰明，使人的思維更加縝密．在美國廣為流傳的一道數(shù)學題目：老板給出兩個加工資的方案，一是每年年末加一千；二是每半年結束時加300元，請選一種．一般不擅長數(shù)學的，很容易選前者，因為一年加一千元總比兩半年共600元要多．其實，由于加工資是累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如，在二年的年末，依第一種方案可以加得1000+2000=3000元，而第二種方案在第一年加得300+600元，第二年加得900+1200=2100元，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一方案可得1000+2000+3000=6000元，第二種方案則為300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元．第四年、第五年會更多．因此，你若會在該公司工作三年以上，則應選擇第二方案．根據(jù)以上材料，解答下列問題：
（1）如果在該公司干10年，問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪水多少元？
（2）如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元，問a取何值時，總是選擇第二方案比選擇第一方案多加薪？
分析：（1）第一方案、第二方案的加薪額都是遞增的等差數(shù)列，到第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000；第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20；在該公司干滿10年，作差比較可知，第二方案比第一方案多加薪多少；
（2）第n年（n∈N*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，即等差數(shù)列的前n項和：2na+
2n(2n-1)
2
a＞1000n+
n(n-1)
2
×1000，整理得a＞
500(n+1)
2n+1
，右邊=250(1+
1
2n+1
)，對于n∈N*時恒成立，存在最大值，從而得出a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構成等差數(shù)列
第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）由題意，第n年（n∈N*）選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多，
則由等差數(shù)列的前n項和公式：2na+
2n(2n-1)
2
a＞1000n+
n(n-1)
2
×1000
化簡得a＞
500(n+1)
2n+1
=250(1+
1
2n+1
)，對于n∈N*時恒成立，
又當n=1時，
1
2n+1
取最大值
1
3
，此時250(1+
1
2n+1
)取得最大值
1000
3
；所以，
當a＞
1000
3
時選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪．
點評：本題考查了根據(jù)實際問題選擇函數(shù)模型，考查了數(shù)列與函數(shù)，數(shù)列與不等式的實際應用，是中高檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15、某校學生會有如下部門：文娛部、體育部、宣傳部、生活部、學習部，請畫出學生會的組織結構圖．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知某類學習任務的掌握程度y與學習時間t（單位時間）之間的關系為y=f（t）=
1
1+a•2-bt
•100%，這里我們稱這一函數(shù)關系為“學習曲線”．已知這類學習任務中的某項任務有如下兩組數(shù)據(jù)：t=4，y=50%；t=8，y=80%．
（Ⅰ）試確定該項學習任務的“學習曲線”的關系式f（t）；
（Ⅱ）若定義在區(qū)間[x1，x2]上的平均學習效率為η=
y2-y1
x2-x1
，問這項學習任務從哪一刻開始的2個單位時間內(nèi)平均學習效率最高．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校學生會有如下部門：文娛部、體育部、宣傳部、生活部、學習部，請畫出學生會的組織結構圖．

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科目：高中數(shù)學 來源：教材完全解讀　高中數(shù)學　必修5(人教B版課標版) 人教B版課標版 題型：044

近日國內(nèi)某大報紙有如下報道：

加薪的學問

學數(shù)學，其實是要使人聰明，使人思維更加縝密．在美國廣為流傳的一道數(shù)學題目是：老板給你兩種加工資的方案，一是每年增加薪水1000元；二是每半年增加薪水300元．請選一種．一般不擅數(shù)學的，很容易選前者，因為一年加1000元總比兩個半年共加600元要多．其實，由于加工資是累計的，時間稍長，往往第二種方案更有利．例如：在第二年的年末依第一方案可以加得1000＋2000＝3000(元)；而第二種方案在第一年加得300＋600＝900(元)，第二年加得900＋1200＝2100(元)，總數(shù)也是3000元．但到第三年，第一方案加得1000＋2000＋3000＝6000(元)；第二方案則為300＋600＋900＋1200＋1500＋1800＝6300(元)，比第一方案多了300元．第四年、第五年會更多．因此，你若能在該公司干三年以上，則應選第二方案．

根據(jù)以上材料，如果在該公司干10年，問：選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元？

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