已知定點(diǎn)A(-
3
,0)
,B是圓C:(x-
3
)2+y2=16
(C為圓心)上的動(dòng)點(diǎn),AB的垂直平分線與BC交于點(diǎn)E.
(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+m(k≠0,m>0)與E的軌跡交于P,Q兩點(diǎn),且以PQ為對(duì)角線的菱形的一頂點(diǎn)為(-1,0),求:△OPQ面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.
分析:(1)根據(jù)|EA|=|EB|可判斷出|EA|+|EC|=|EB|+|EC|進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡是以A,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,E的軌跡方程可得.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為(x0,y0)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y,根據(jù)判別式大于0求得k與m的不等式關(guān)系;同時(shí)根據(jù)AB的垂直平分線與BC,可分別表示出兩直線的斜率使其乘積等于-1求得k和m的關(guān)系式,進(jìn)而可求得k的范圍.設(shè)O到直線l的距離為d,根據(jù)三角形面積公式可得△OPQ的面積的表達(dá)式,根據(jù)k的范圍確定△OPQ的面積的最大值.求出此時(shí)的k和m,所求的直線方程可得.
解答:解:(1)由題知|EA|=|EB|
∴|EA|+|EC|=|EB|+|EC|=4
又∵|AC|=2
3
<4
∴點(diǎn)E的軌跡是以A,C為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓,
∴E的軌跡方程為
x2
4
+y2=1

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點(diǎn)為(x0,y0
將直線y=kx+m與
x2
4
+y2=1

聯(lián)立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0△=16(4k2+1-m2)>0,即4k2+1>m2
x0=
x1+x2
2
=
-4km
1+4k2
,y0=
y1+y2
2
=
m
1+4k2

依題意有
y0-0
x0-(-1)
=-
1
k
,
整理得3km=4k2+1②
由①②可得k2
1
5
,∵m>0,∴k>0,∴k>
5
5

設(shè)O到直線l的距離為d,則S△OPQ=
1
2
d•|PQ|=
1
2
m
1+k2
1+k2
16(4k2+1-m2)
1+4k2

=
2
(4k2+1)(5k2-1)
9k2
=
2
9
20+
1
k2
-
1
k4

當(dāng)
1
k2
=
1
2
時(shí),△OPQ的面積取最大值1,
此時(shí)k=
2
,m=
3
2
2
,∴直線方程為y=
2
x+
3
2
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的關(guān)系,考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線綜合知識(shí)的把握.
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