Question

已知橢圓上兩點(diǎn)P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的連線的斜率為．
（1）求橢圓的離心率e的大小；
（2）若以PQ為直徑的圓與直線x+y+6=0相切，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）設(shè)點(diǎn)M（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，∵點(diǎn)P在橢圓C上，
∴，，，
∴，
從而，解得（舍去）．
（2）由（1）知，，
∴以PQ為直徑的圓的方程為．
∵該圓與直線x+y+6=0相切，∴．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（3）由（1）知，，故橢圓方程為在橢圓內(nèi)部，
∴b＞3．
設(shè)N（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，則MN²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b．∵b＞3，
∴-b＜-3，∴當(dāng)y=-3時(shí)，MN²取得最大值2b²+18．
依題意：，∴MN²≤50，∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，又b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8．
∴橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍是（6，8]．
分析：（1）先設(shè)出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用P、Q在x軸上的射影分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的連線的斜率為．即可求橢圓的離心率e的大��；
（2）先求出以PQ為直徑的圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求出b值即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）先利用點(diǎn)M（0，3）在橢圓內(nèi)部求出b的一個(gè)范圍，再利用兩點(diǎn)間的距離公式以及最遠(yuǎn)距離不大于，求出b的另一個(gè)范圍，兩個(gè)相綜合可得橢圓C的短軸長(zhǎng)的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與橢圓知識(shí)的綜合考查．當(dāng)直線與圓相切時(shí)，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解，也可以把直線與圓的方程聯(lián)立讓對(duì)應(yīng)方程的判別式為0求解．本題用的是方法一．