(本題滿分12分)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足.
(Ⅰ)計(jì)算的值,猜想的通項(xiàng)公式,并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,證明:.

(Ⅰ);.猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明;(Ⅱ)先利用數(shù)列知識(shí)求和,然后利用放縮法證明或者利用數(shù)學(xué)歸納法證明

解析試題分析:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),,得;,得
,得.猜想                2’
證明:(ⅰ)當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),                       1’
則當(dāng)n=k+1時(shí),
結(jié)合,解得                   2’
于是對(duì)于一切的自然數(shù),都有             1’
(Ⅱ)證法一:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/05/d/40jgi.png" style="vertical-align:middle;" />,         3’
  .3’
證法二:數(shù)學(xué)歸納法
證明:(。┊(dāng)n=1時(shí),,           1’
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),            1’
則當(dāng)n=k+1時(shí),
要證:
只需證:
由于
所以               3’
于是對(duì)于一切的自然數(shù),都有               1’
考點(diǎn):本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng):運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,可以證明下列問題:與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在等比數(shù)列中,已知,公比,等差數(shù)列滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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已知數(shù)列滿足:(其中常數(shù)).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)時(shí),數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)組成一個(gè)等比數(shù)列;若存在,求出滿足條件的三項(xiàng),若不存在,說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知數(shù)列,其前項(xiàng)和,數(shù)列 滿足
( 1 )求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
( 2 )設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和

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已知數(shù)列中,,前項(xiàng)的和為,對(duì)任意的,,總成等差數(shù)列.
(1)求的值并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)證明:.

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已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,λ),且對(duì)任意x∈R,
都有f(x+1)=f(x)+2.?dāng)?shù)列{an}滿足
(1)當(dāng)x為正整數(shù)時(shí),求f(n)的表達(dá)式;(2)設(shè)λ=3,求a1+a2+a3+…+a2n
(3)若對(duì)任意n∈N*,總有anan+1<an+1an+2,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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已知數(shù)列 的前項(xiàng)和為,設(shè),且.
(1)證明{}是等比數(shù)列;
(2)求.

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已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求函數(shù)的最小值;
(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和。試問:是否存在關(guān)于的整式,使得
對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立?若存在,寫出的解析式,并加以證明;若不存在,試說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知數(shù)列滿足,數(shù)列滿足,
數(shù)列滿足.
(1)若,證明數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)在(1)的條件下,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若,證明數(shù)列的前項(xiàng)和滿足。

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