已知向量=(2cosx,2sinx),=,函數(shù)f(x)=,(a為常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)若函數(shù)g(x)的圖象關于y軸對稱,求g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3)已知對任意實數(shù)x1,x2,都有成立,當且僅當x1=x2時取“=”.求證:當時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
【答案】分析:(1)由已知中向量=(2cosx,2sinx),=,函數(shù)f(x)=,我們可以求出函數(shù)f(x)的解析式,進而根據(jù)余弦型函數(shù)的對稱性得到函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)由(1)中函數(shù)f(x)的解析式及可得函數(shù)g(x)的解析式,根據(jù)函數(shù)g(x)的圖象關于y軸對稱,可得a值,進而根據(jù)函數(shù)的周期,利用分組求和法可得g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3))∵已知對任意實數(shù)x1,x2,都有成立,可證得當時,當x1<x2時,恒有g(x1)<g(x2).進而根據(jù)函數(shù)單調性的定義可得,當時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
解答:解:(1)∵向量=(2cosx,2sinx),=
又∵f(x)=,

=. …(4分)
,得
即函數(shù)f(x)的對稱軸方程為.…(6分)
(2)由(1)知
∵函數(shù)g(x)的圖象關于y軸對稱,
∴函數(shù)g(x)是偶函數(shù),即a=0.
…(8分)
又函數(shù)g(x)的周期為6,
∴g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)=6.
∴g(1)+g(2)+g(3)…+g(2011)=2010.  …(11分)
(3)∵已知對任意實數(shù)x1,x2,都有成立
∴對于任意x1,x2且x1<x2,由已知得
=
,

即當x1<x2時,恒有g(x1)<g(x2).
所以當時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).…(16分)
點評:本題考查的知識點是余弦函數(shù)的對稱性,函數(shù)的單調性的性質,三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)的周期性及其求法,其中求出函數(shù)f(x)的解析式及函數(shù)g(x)的解析式是解答本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosα,2sinα),
b
=(3cosβ,3sinβ),若向量
a
b
的夾角為60°,則直線xcosα-ysinα+
1
2
=0
與圓(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=
1
2
的位置關系是( 。
A、相交B、相切
C、相離D、相交且過圓心

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosωx,cos2ωx),
b
=(sinωx,1)(其中ω>0),令f(x)=
a
• 
b
,且f(x)的最小正周期為π.
(1)求f(
π
4
)
的值;
(2)寫出f(x)在[-
π
2
,
π
2
]
上的單調遞增區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
.
a
=( 2cosα,2sinα),
.
b
=( 3sosβ,3sinβ),向量
.
a
.
b
的夾角為30°則cos(α-β)的值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
OA
=a=(
2
cosα,
2
sinα)
OB
=b=(2cosβ,2sinβ),其中O為坐標原點,且
π
6
≤α<
π
2
<β≤
6

(1)若
a
⊥(
b
-
a
),求β-α的值;
(2)當
a
•(
b
-
a
)取最小值時,求△OAB的面積S.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•濟南二模)已知向量
m
=(2cosωx,-1),
n
=(sinωx-cosωx,2),函數(shù)f(x)=
m
n
+3的周期為π.
(Ⅰ) 求正數(shù)ω;
(Ⅱ) 若函數(shù)f(x)的圖象向左平移
π
8
,再橫坐標不變,縱坐標伸長到原來的
2
倍,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調增區(qū)間.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案