Question

已知圓O：交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線于點(diǎn)Q．

   （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

   （3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）     （2）見解析   （3）見解析

【解析】(1)由a和e可求出c,進(jìn)而求出b,橢圓方程確定.

（2）可先求出直線OQ的方程y=-2x.然后求出Q的坐標(biāo).從而通過PQ和OQ的斜率證明直線PQ與圓O相切.

(3)根據(jù)（2）的解題思路，設(shè)，然后利用P的坐標(biāo)表示出OQ的方程，再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)OP和PQ的斜率之積是否為-1,來判斷直線PQ始終與圓O是否相切

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821064096621258/SYS201207182107215756748705_DA.files/image003.png"> 則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為  3分

（2）因?yàn)镻（1，1），所以

所以，所以直線OQ的方程為y= —2x.       4分

又Q在直線上，所以點(diǎn)Q（—2，4） 

    即PQ⊥OQ，故直線PQ與圓O相切，               7分

（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓P保持相切的位置關(guān)系

設(shè)，則

所以直線OQ的方程為            所以點(diǎn)Q  

所以                9分

                       10分

所以，即OP⊥PQ（P不與A、B重合），

故直線PQ始終與圓O相切.                    12分