Question

已知圓O：交x軸于A，B兩點(diǎn)，曲線C是以AB為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，其左焦點(diǎn)為F．若P是圓O上一點(diǎn)，連結(jié)PF，過(guò)原點(diǎn)P作直線PF的垂線交直線于點(diǎn)Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），求證：直線PQ圓O相切；

（3）試探究：當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1) +y²="1" (2)因?yàn)镻（1，1），所以k_PF=，所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x．再由橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，能夠證明直線PQ與圓O相切．

(3) 直線PQ始終與圓O相切

【解析】

試題分析：因?yàn)閍=，e=，所以c=1（2分）則b=1，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y²=1（4分）（2）因?yàn)镻（1，1），所以k_PF=，所以k_OQ=-2，所以直線OQ的方程為y=-2x（6分）

又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2，所以點(diǎn)Q（-2，4）（7分）

所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，

故直線PQ與圓O相切（9分）

（3）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線PQ與圓O保持相切（10分）

證明：設(shè)P（x₀，y₀）（x₀≠±），則y₀²=2-x₀²，所以k_PF=，k_OQ=-，所以直線OQ的方程為y="-" x（12分）所以點(diǎn)Q（-2，（13分）所以k_PQ= - ，又k_OP= ，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓O相切

考點(diǎn)：橢圓方程以及直線與橢圓位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．